Question

8．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂…，p_n的“均倒數(shù)”．若數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{3n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{6}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{10}{11}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 由$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n+1}$，可得a₁+a₂+…+a_n=3n²+n，利用遞推關系可得a_n，再利“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=3n²+n，
∴a₁=4；n≥2時，a₁+a₂+…+a_n-1=3（n-1）²+（n-1），∴a_n=6n-2．（n=1時也成立）．
∴a_n=6n-2．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}+2}{6}$=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{9}_{10}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．
故選：C．

點評 本題考查了新定義、遞推關系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．