Question

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A、B孔面積忽略不計)．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，根據(jù)題意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系數(shù)．依題意要使y最小，只需求ab的最大值． 　　由題設(shè)得：4b＋2ab＋2a＝60　(a＞0，b＞0) 　　即a＋2b＋ab＝30　(a＞0，b＞0) 　　∵a＋2b≥2　∴2＋ab≤30 　　當且僅當a＝2b時取“＝”號，ab有最大值． 　　∴當a＝2b時有2＋ab＝30，即b2＋2b－15＝0 　　解之得：b1＝3，b2＝－5(舍去)∴a＝2b＝6 　　故當a＝6米，b＝3米時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少． 　　解法二：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，由題意可知：4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0) 　　∴a＋2b＋ab＝30　(a＞0，b＞0),∴b＝　(0＜a＜30) 　　由題設(shè)：y＝，其中k＞0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值． 　　∴y＝＝≥ 　　∴當且僅當a＋2＝時取“＝”號，即a＝6，b＝3時ab有最大值18． 　　故當a＝6米，b＝3米時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)最少． 　　分析：應(yīng)用題的最值問題，主要是選取適當?shù)淖兞浚�再依�?jù)題設(shè)，建立數(shù)學模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值．