Question

設(shè)f（x）滿足f（x₁）+f（x₂）=2f（

x1+x2

2

）•f（

x1-x2

2

）且f（

π

2

）=0，x∈R，求證：f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：用賦值法可以得到f（x）與f（-x）的關(guān)系，即判斷函數(shù)的奇偶性，以及f（

π

2

）=0，再進(jìn)一步令x₁=x，x₂=π-x即可得f（π-x）+f（x）=0，結(jié)合函數(shù)周期性的定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：令x₁=x₂，有2f（x₁）=2f（x₁）f（0），
則f（0）=1；
令x₁=x，x₂=-x，
有f（x）+f（-x）=2f（x），即f（x）=f（-x）；
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
令x₁=x，x₁+x₂=π，即x₂=π-x，
得f（x）+f（π-x）=2f（

π

2

）f（2x-π）=0，
∴f（x）=-f（π-x）=-f（x-π），
則f（x+π）=-f（x），
即f（x+2π）=-f（x+π）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期為2π的周期函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題是抽象函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題問(wèn)題以及函數(shù)周期性的證明，考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性，同時(shí)也考查了學(xué)生解決探索性問(wèn)題的能力．利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法．