Question

11．已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），當(dāng)ab取得最小值時(shí)，曲線$\frac{x|x|}{a}-\frac{y|y|}=1$上的點(diǎn)到直線$y=\sqrt{2}x$的距離的取值范圍為（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 利用基本不等式可得b=2a=4．再對(duì)x，y分類討論，畫出圖形，利用直線與曲線相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），
∴ab=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，化為$\sqrt{ab}$（$\sqrt{ab}$-2$\sqrt{2}$）≥0，
∴$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，
解得ab≥8．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=4時(shí)取等號(hào)．
∴曲線為$\frac{x|x|}{2}$-$\frac{y|y|}{4}$=1．
畫出圖形：由圖形可知：直線y=$\sqrt{2}$x分別是曲線$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，曲線-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線．因此點(diǎn)到直線y=$\sqrt{2}$x的距離d＞0．
設(shè)直線y=$\sqrt{2}$x+m與曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（x≥0，y≤0）相切．
聯(lián)立化為$4{x}^{2}+2\sqrt{2}mx+{m}^{2}-4=0$，
令△=8m²-16（m²-4）=0，解得m=-2$\sqrt{2}$．
∴切線為y=$\sqrt{2}x-2\sqrt{2}$．
兩平行線y=$\sqrt{2}x-2\sqrt{2}$，y=$\sqrt{2}$x的距離d=$\frac{|0+2\sqrt{2}|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴曲線$\frac{x|x|}{a}-\frac{y|y|}=1$上的點(diǎn)到直線$y=\sqrt{2}x$的距離取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．
故答案為（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式、直線與曲線相切的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．