Question

11．如圖所示，已知平面四邊形ABCD為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè)），且AB=1，BC=3，CD=4，DA=2，則平面四邊形ABCD面積的最大值為$2\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，在△ABC和△ACD中，分別由余弦定理可得8cosD-3cosB=5，①，由面積可得3sinB+8sinD=2S，②①²+②²解三角函數(shù)的值域可得S的不等式，解不等式可得答案．

解答 解：設(shè)AC=x，在△ABC中，由余弦定理可得x²=1²+3²-2×1×3cosB=10-6cosB，
在△ACD中，由余弦定理可得x²=20-16cosD，
聯(lián)立可得8cosD-3cosB=5，①
又四邊形ABCD面積S=$\frac{1}{2}$×1×3sinB+$\frac{1}{2}$×2×4sinD
即3sinB+8sinD=2S，②
①²+②²可得9+64+48（sinBsinD-cosBcosD）=25+4S²，
化簡(jiǎn)可得48cos（B+D）=4S²-48，
由于-1≤cos（B+D）≤1，∴-48≤4S²-48≤48，
∴0≤4S²≤96，解得S≤$2\sqrt{6}$，
當(dāng)cos（B+D）=-1即B+D=π時(shí)取等號(hào)，
∴S的最大值為$2\sqrt{6}$，
故答案為：$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及不等式的性質(zhì)，屬中檔題．