Question

已知P（11，2）是圓x²+y²+2x-4y-164=0內(nèi)一點(diǎn)，則過P點(diǎn)的所有弦中，弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有________條．

Answer 1

32
分析：將圓x²+y²+2x-4y-164=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為C（-1，2），半徑r=13．根據(jù)兩點(diǎn)距離公式算出|PC|=12，結(jié)合垂徑定理得到經(jīng)過P點(diǎn)最短的弦長(zhǎng)等于10，而經(jīng)過P點(diǎn)最長(zhǎng)的弦等于直徑26，由此結(jié)合圖形的對(duì)稱性，可得弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)．
解答：∵圓x²+y²+2x-4y-164=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）²+（y-2）²=169
∴x²+y²+2x-4y-164=0的圓心為C（-1，2），半徑r=13
∵P（11，2）到圓C的距離為|PC|==12
∴結(jié)合垂徑定理，得經(jīng)過P點(diǎn)且與PC垂直的弦長(zhǎng)為2=10，
即經(jīng)過點(diǎn)P最短的弦長(zhǎng)等于10
又∵經(jīng)過點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦為圓C的直徑2r=26
∴經(jīng)過點(diǎn)P且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦長(zhǎng)可能是：10，11，12，…，26
其中長(zhǎng)度為10和26的各有一條，根據(jù)對(duì)稱性得長(zhǎng)度為11，12，…，25的弦各有兩條
因此，弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有2（25-10）+2=32條
故答案為：32
點(diǎn)評(píng)：本題給出已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，求經(jīng)過該點(diǎn)且弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦的條數(shù)，著重考查了圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．