Question

已知A，B，C是圓O：x²+y²=1上任意的不同三點(diǎn)，若

OA

=3

OB

+x

OC

，則正實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A、（0，2）
• B、（1，4）
• C、（2，4）
• D、（3，4）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：三點(diǎn)A，B，C在圓O：x²+y²=1上，所以|OA|=|OB|=|OC|=1，所以可以想到對(duì)

OA

=3

OB

+x

OC

兩邊進(jìn)行平方，從而去掉向量符號(hào)，得到1=9+6xcos＜

OB

，

OC

＞+x2，并求出cos＜

OB

，

OC

＞=

-x2-8

6x

．可以判斷＜

OB

，

OC

＞∈(0，π)，所以-1＜

-x2-8

6x

＜1，解該不等式即得x的取值范圍．

解答： 解：根據(jù)已知條件知：|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1；
∴對(duì)

OA

=3

OB

+x

OC

兩邊平方可得：1=9+6xcos＜

OB

，

OC

＞+x2；
∵x＞0，∴cos＜

OB

，

OC

＞=

-x2-8

6x

；
∵A，B，C是不同三點(diǎn)；
∴-1＜cos＜

OB

，

OC

＞＜1，∴-1＜

-x2-8x

6x

＜1；
∴

x2-6x+8＜0 x2+6x+8＞0

，解得2＜x＜4；
∴正實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2，4）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查向量的長(zhǎng)度的概念，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，向量夾角的概念及范圍，以及解分式不等式，一元二次不等式組．