Question

【題目】已知數列 的前 項和為 ，且滿足 ，求數列 的通項公式．勤于思考的小紅設計了下面兩種解題思路，請你選擇其中一種并將其補充完整．
思路1：先設 的值為1，根據已知條件，計算出 ， ， ．
猜想： .
然后用數學歸納法證明．證明過程如下：
①當 時， ， 猜想成立
②假設 （ N*）時，猜想成立，即 ．
那么，當 時，由已知 ，得 ．
又 ，兩式相減并化簡，得 （用含 的代數式表示）．
所以，當 時，猜想也成立．
根據①和②，可知猜想對任何 N*都成立．
思路2：先設 的值為1，根據已知條件，計算出 ．
由已知 ，寫出 與 的關系式： ，
兩式相減，得 與 的遞推關系式： ．
整理： ．
發(fā)現(xiàn)：數列 是首項為 ， 公比為的等比數列．
得出：數列 的通項公式 ， 進而得到 ．

Answer 1

【答案】["",""," ","",""," "," ",""," ","【解析】思路1.由于 ，令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，再令 ，可求出 的值，利用不完全歸納法，歸納猜想出 ，再用數學歸納法加以證明, 這是一種“歸納—猜想—證明”思維方式，從特殊到一般的歸納推理方式；思路2.采用構造法直接求出數列得通項公式.

試題解析：思路1.由于 ，令 ， ；令 ， ， ，令 ， ，則

，由此猜想 ；下面用數學歸納法證明，證明過程如下：

①當 時， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假設 （ N*）時，猜想成立，即 ,

那么，當 時，由已知 ，得 ,

又 ，兩式相減并化簡，得 ， （用含 的代數式表示）．所以，當 時，猜想也成立．

根據①和②，可知猜想對任何 N*都成立．

思路2. 先設 的值為1，根據已知條件，計算出 ，

由已知 ，寫出 與 的關系式： ，

兩式相減，得 與 的遞推關系式： ，

整理： ，

發(fā)現(xiàn)：數列 是首項為2，公比為2的等比數列．

得出：數列 的通項公式 ，進而得到 ．