Question

如果函數(shù)f（x）對任意兩個不等實數(shù)x₁，x₂，且x₁，x₂∈（a，b）都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂+x₂f（x）₁），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間（a，b）上的“G”函數(shù)．給出下列命題：①f（x）=2x-sinx是R上的“G”函數(shù)；②f（x）=

x2+4x(x≥0) x-1，x＜0

是R上的“G”函數(shù)；③f（x）=

2x(x≥1) 2x+1，x＜1

是R上的“G”函數(shù)；④若函數(shù)f（x）=e^x-ax-2是R上的“G”函數(shù)，則a≤0．其中正確的個數(shù)為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：計算題,推理和證明

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①f′（x）=2-cosx＞0，∴f（x）=2x-sinx是R上的“G”函數(shù)；
②f（x）=

x2+4x(x≥0) x-1，x＜0

是定義在R上的增函數(shù)，∴是R上的“G”函數(shù)；
③f（x）=

2x(x≥1) 2x+1，x＜1

不是定義在R上的增函數(shù)，∴不是R上的“G”函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）=e^x-ax-2是R上的“G”函數(shù)，則f′（x）=e^x-a＞0，∴a≤0，正確．
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．