Question

20．已知圓M：（x-1）²+y²=$\frac{3}{8}$，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，若直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與圓M相切于點(diǎn)P，且P為AB的中點(diǎn)，則這樣的直線l有（　　）

• A． 2條
• B． 3條
• C． 4條
• D． 6條

Answer 1

分析 討論直線AB的斜率不存在和存在，利用點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，根據(jù)k_MP•k_AB=-1，求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，確定在橢圓內(nèi)，即可得到所求直線的條數(shù)．

解答 解：當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)且與圓M相切時(shí)，P在x軸上，
故滿足條件的直線有兩條；
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}$+y₂²=1，
兩式相減，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
則k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{3{y}_{0}}$，k_MP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，k_MP•k_AB=-1，
則k_MP•k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{3{y}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=-1，解得：x₀=$\frac{3}{2}$，
由$\frac{3}{2}$＜$\sqrt{3}$，可得P在橢圓內(nèi)部，
則這樣的P點(diǎn)有兩個(gè)，即直線AB斜率存在時(shí)，也有兩條．
綜上可得，所求直線l有4條．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，直線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及兩直線垂直的條件，考查分類討論和計(jì)算能力，屬于中檔題．