分析 (Ⅰ)由Sn=2an−a1,n∈N∗,利用當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,整理得an=2an-1,利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,{an}是公比為2的等比數(shù)列.對5am為ap,aq三項(xiàng)的順序分類討論,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出.
(III)由an=a1•2n−1,得|tn|=|rn|=a1•2n−1,可得:t100=r100或t100=-r100,若t100=-r100,不妨設(shè)t100>0,r100<0,則T100=t1+t2+…+t99+t100≥−a1−a1•2−a1•22−…−a1•298+a1•299=a1.則R100=r1+r2+…+r99+r100≤a1+a1•2+a1•22+…+a1•298−a1•299=-a1.
由已知a1>0,∴R100<T100,與已知不符,因此t100=r100,同理可得R99=T99,如此下去,t98=r98,…,t1=r1,.
解答 解:(Ⅰ)∵Sn=2an−a1,n∈N∗,∴Sn-1=2an-1-a1,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-a1)-(2an-1-a1),整理得an=2an-1,
又an>0,∴anan−1=2,數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n−1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,{an}是公比為2的等比數(shù)列.
①若5am為ap,aq的等差中項(xiàng),則2×5am=ap+aq,
∴2×5a12m−1=a12p−1+a12q−1,化為2p-m-1+2q-m-1=5,
又m<p<q,m,p,q∈N*,∴2p-m-1=1,2q-m-1=4,
∴p-m-1=0,q-m-1=2.即p=m+1,q=m+3.
②若ap為5am,aq的等差中項(xiàng),則2ap=5am+aq,
∴2a12p−1=5a12m−1+a12p−1,∴2p=5×2m-1+2q-1,
∴2p-m+1-2q-m=5,等式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),等式不成立,舍去.
③若aq為5am,ap的等差中項(xiàng),則2aq=5am+ap,同理也不成立.
綜上,p=m+1,q=m+3.
(Ⅲ)由an=a1•2n−1,得|tn|=|rn|=a1•2n−1,
∴t100=r100或t100=-r100,
若t100=-r100,不妨設(shè)t100>0,r100<0,
則T100=t1+t2+…+t99+t100≥−a1−a1•2−a1•22−…−a1•298+a1•299=−a1(1+2+22+…+298)+a1•299=−a1×1−2991−2+a1•299=a1.
則R100=r1+r2+…+r99+r100≤a1+a1•2+a1•22+…+a1•298−a1•299=a1(1+2+22+…+298)−a1•299=a1×1−2991−2−a1•299=−a1.
由已知a1>0,∴R100<T100,與已知不符,∴t100=r100,
∴R99=T99,同上可得t99=r99,
如此下去,t98=r98,…,t1=r1,
即對于任意的正整數(shù)k(1≤k≤100),均有tk=rk成立.
點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分類討論方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 函數(shù)f(x)的最小正周期為π | |
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C. | 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-\frac{π}{6},0)對稱 | |
D. | 函數(shù)f(x)在區(qū)間(-\frac{π}{12},\frac{5π}{12})上單調(diào)遞增 |
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成績等級 | A | B | C | D | E |
成績(分) | 100 | 85 | 70 | 60 | 50以下 |
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