Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=|x²-4x+3|=
∴當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；
當(dāng)2≤x≤3時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)
由此可得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，2]和[3，+∞），
遞減區(qū)間為（-∞，1]和[2，3]
（2）關(guān)于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-，
∴當(dāng)a=-時(shí)，直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點(diǎn)A（，），
又∵直線y=x+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0）時(shí)，兩圖象也有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a=-1
∴當(dāng)直線y=x+a位于點(diǎn)A、B之間（含邊界）時(shí)，兩圖象至少有三個(gè)不同的交點(diǎn)
由此，結(jié)合函數(shù)圖象可得a∈[-1，-]．
分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義，將函數(shù)化成分段函數(shù)形式，再結(jié)合函數(shù)的圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，將兩個(gè)方程聯(lián)解，結(jié)合一元二次方程根的判斷式，得當(dāng)a=-時(shí)直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點(diǎn)A（，）．再根據(jù)a=-1時(shí)，直線y=x+a經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，0）與y=f（x）圖象也有三個(gè)公共點(diǎn)，由此結(jié)合函數(shù)圖象的變化，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的二次函數(shù)形式，討論函數(shù)的單調(diào)性并求關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù)，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)圖象與直線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．