Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$（a+1）x²-（a+2）x+6，a∈R．
（1）若f（x）在x=-3處取得極大值，是否存在極小值？若存在求出極小值．若不存在說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f′（-3）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）結(jié)合題意得到f'（x）≥0或者f'（x）≤0，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（-3）=0，得a=1．…（2分）
得f'（x）=x²+2x-3，令f'（x）=0，得x=-3，或x=1，…（4分）
在（-∞，-3），（1，+∞）上 f'（x）＞0，
在（-3，1）上，f'（x）＜0，
所以可知在x=1處有極小值，
${y_{極小值}}=f（1）=\frac{13}{3}$，…（6分）
（2）因為單調(diào)，所以f'（x）≥0或者f'（x）≤0，
f'（x）=ax²+（a+1）x-（a+2），
當(dāng)a=0時，f'（x）=x-2，不符題意…..（8分）
當(dāng)a≠0時，f'（x）=ax²+（a+1）x-（a+2）表示二次函數(shù)，
f'（x）≥0或者f'（x）≤0，所以與x軸有一個交點或者沒有交點，
所以ax²+（a+1）x-（a+2）=0至多一個根，
所以△≤0，所以$\frac{{-5-2\sqrt{5}}}{5}≤a≤\frac{{-5+2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．