Question

13．下列幾個命題：
①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則a＜0；
②f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=2x²+x-1，則x≥0時，f（x）=-2x²+x+1；
③函數(shù)$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$的值域是$（{-1，\frac{3}{2}}）$；
④正四面體 A-BCD的內(nèi)切球體積為V₁，外接球體積為V₂，則$\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{27}$．
其中正確的有①③④．

Answer 1

分析 ①由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解出a，即可判斷出結(jié)論；
②x=0時，f（0）=0，即可判斷出正誤；
③變形：函數(shù)$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$=$\frac{5-（2+{2}^{x}）}{2+{2}^{x}}$=$\frac{5}{2+{2}^{x}}$-1，由2^x＞0，可得$\frac{1}{2+{2}^{x}}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，進而得出值域．
④不妨設(shè)正四面體 A-BCD的棱長為2，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，利用三棱錐體積計算公式可得：解得r，R．即可判斷出結(jié)論．

解答 解：①方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜0，故①正確；
②f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）=2x²+x-1，則x=0時，f（0）=0；
x＞0時，-x＜0，f（-x）=2x²-x-1，則f（x）=-f（-x）=-2x²+x+1，故②不正確．
③函數(shù)$y=\frac{{3-{2^x}}}{{{2^x}+2}}$=$\frac{5-（2+{2}^{x}）}{2+{2}^{x}}$=$\frac{5}{2+{2}^{x}}$-1，∵2^x＞0，∴$\frac{1}{2+{2}^{x}}$∈$（0，\frac{1}{2}）$，∴y∈$（{-1，\frac{3}{2}}）$，故③正確．
④不妨設(shè)正四面體 A-BCD的棱長為2，內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R，則$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²•r×4=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$×$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，$（\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}-R）^{2}$+$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=R²，解得r=$\frac{1}{\sqrt{6}}$，R=$\frac{3}{\sqrt{6}}$．則$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$（\frac{r}{R}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、一元二次方程的方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、正四面體與正三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．