Question

3．母線長為1的圓錐的側面展開圖的面積是$\frac{2}{3}$π，則該圓錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{81}$π
• B． $\frac{8}{81}$π
• C． $\frac{4\sqrt{5}}{81}$π
• D． $\frac{10}{81}$π

Answer 1

分析 求出圓錐的側面展開圖扇形的弧長，再求底面半徑，求出圓錐的高，即可求它的體積．

解答 解：∵母線長為1的圓錐的側面展開圖的面積是$\frac{2}{3}$π，
∴扇形的弧長=$\frac{π}{3}$
圓錐的側面展開圖扇形的弧長，即底面圓的周長為$\frac{4}{3}$π•1=$\frac{4}{3}$π，于是設底面圓的半徑為r，
則有2πr=$\frac{4}{3}$π，所以r=$\frac{2}{3}$，
于是圓錐的高為h=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
該圓錐的體積為：$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}×π×\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{81}$π．
故選C．

點評 本題考查圓錐的體積，考查計算能力，是基礎題．