Question

8．在平面直角坐標(biāo)系中，圓C：（x-3）²+（y-1）²=9上，圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則a=-1．

Answer 1

分析 將直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理，及以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，可得關(guān)于c的方程，即可求解，注意方程判別式的驗(yàn)證．

解答 解：由直線x-y+a=0與圓C：（x-3）²+（y-1）²=9，消去y，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0①
設(shè)直線l和圓C的交點(diǎn)為A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁、x₂是①的兩個(gè)根．
∴x₁x₂=$\frac{（a-1）^{2}}{2}$，x₁+x₂=4-a．②
由題意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=0，即2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0③
將②代入③得：a²+2a+1=0． 
解得：a=-1，
判別式△＞0，滿足題意
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．