Question

18．已知函數(shù)f（x）=e²-ax-1，g（x）=ln（e^x-1）-lnx
（1）求證：當(dāng)ax＜x時(shí)，f（x）＞0恒成立；
（2）當(dāng)a≤1，對(duì)任意x＞0，比較f（g（x））與f（x）的大�。�

Answer 1

分析 （1）f（x）=e^x-ax-1＞e^x-x-1，設(shè)F（x）=e^x-x-1，F(xiàn)′（x）=e^x-1，確定其單調(diào)性，即可證明結(jié)論；
（2）由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，a≤1時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，證明x＞0時(shí)，0＜g（x）＜x恒成立，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵ax＜x，∴f（x）=e^x-ax-1＞e^x-x-1
設(shè)F（x）=e^x-x-1，F(xiàn)′（x）=e^x-1
x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴F（x）≥F（0）=0；
∴f（x）＞F（x）≥0，
∴ax＜x，時(shí)，f（x）＞0恒成立；
（2）解：g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$（x＞0），
由（1）可知x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＞0，∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1，
∴g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0
設(shè)h（x）=（x-1）e^x+1，則h′（x）=xe^x，
x＞0時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）＞h（0）=0，
∴（x-1）e^x+1＞0，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜e^x，∴g（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜x，
∴x＞0時(shí)，0＜g（x）＜x恒成立．
由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a．
a≤1時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵x＞0時(shí)，0＜g（x）＜x恒成立，
∴f（g（x））＜f（x），
∴對(duì)任意x＞0，f（g（x））＜f（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．