Question

17．已知函數f（x）=lnx-a（x-1），a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）在點（1，f（1））點處的切線方程；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）先求出切線的斜率k=f′（1）和f（1），代入直線的點斜式方程化簡即可；
（II）作差得f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$，令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），依次計算g′（x），g″（x），討論a的范圍判斷g（x）的單調性，驗證結論是否成立即可得出a的范圍．

解答 解：（I）∵f（x）=lnx-a（x-1），∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∴f（1）=0，f′（1）=1-a，
∴函數f（x）在點（1，f（1））點處的切線方程為y=（1-a）（x-1）．
（II）f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$=$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$，令g（x）=xlnx-a（x²-1）（x≥1），
則g′（x）=lnx+1-2ax，g″（x）=$\frac{1}{x}-2a$=$\frac{1-2ax}{x}$，
①若a≤0，則g″（x）＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≥0，
即f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合題意．
②若0$＜a＜\frac{1}{2}$，則當x∈（1，$\frac{1}{2a}$）時，g″（x）＞0，
∴g′（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）上單調遞增，
∴g′（x）≥g′（1）=1-2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≥0，
即f（x）-$\frac{lnx}{x+1}$≥0，不符合題意．
③若a$≥\frac{1}{2}$，則當x∈[1，+∞）上時，g″（x）≤0，
∴g′（x）在[1，+∞）上單調遞減，
∴g′（x）≤g′（1）=1-2a≤0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，∴$\frac{xlnx-a（{x}^{2}-1）}{x+1}$≤0，
即f（x）≤$\frac{lnx}{x+1}$，符合題意．
綜上所述，a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了導數的幾何意義，導數與函數的單調性的關系，分類討論思想，屬于中檔題．