Question

9．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=5，a₂=9，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n|b_n|，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由d=a₂-a₁=4，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，則b_n=S_n-S_n-1，則b_n=-2b_n-1，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：c_n=（4n+1）2^n-1，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

解答 解：（1）由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=a₂-a₁=4，
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，a_n=a₁+（n-1）d=4n+1，
由S_n=$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{2}{3}$b_n-1+$\frac{1}{3}$，
則b_n=S_n-S_n-1=（$\frac{2}{3}$b_n+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{2}{3}$b_n-1+$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$b_n-$\frac{2}{3}$b_n-1，
則b_n=-2b_n-1，
當(dāng)b=1時(shí)，b₁=$\frac{2}{3}$b₁+$\frac{1}{3}$．b₁=1，
數(shù)列{b_n}以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=（-2）^n-1；
（Ⅱ）c_n=a_n|b_n|=（4n+1）2^n-1，
則數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n，T_n=5•1+9•2+13•2²+…+（4n+1）•2^n-1，
2T_n=5•2+9•2²+13•2³+…+（4n+1）•2ⁿ，
兩式相減可得，-T_n=5+4（2+2²+2³+…+2^n-1）-（4n+1）•2ⁿ，
=5+4×$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$-（4n+1）•2ⁿ，
=3•2ⁿ-3-4n•2ⁿ，
∴T_n=（4n-3）2ⁿ+3，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和T_n=（4n-3）2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．