Question

4．已知拋物線y²=4x，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限內(nèi)），$\stackrel{→}{AF}$=3$\stackrel{→}{FB}$，過(guò)AB的中點(diǎn)且垂直于l的直線與x軸交于點(diǎn)G，則三角形ABG的面積為（　�。�

• A． $\frac{8\sqrt{3}}{9}$
• B． $\frac{16\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{32\sqrt{3}}{9}$
• D． $\frac{64\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得直線的傾斜角，求得直線AB的方程，代入拋物線方程，利用求得丨AB丨及中點(diǎn)E，利用點(diǎn)斜式方程，求得G點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式求得三角形ABG的面積．

解答 解：作出拋物線的準(zhǔn)線l：x=-1，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過(guò)B作BE⊥AC于E．
∵$\stackrel{→}{AF}$=3$\stackrel{→}{FB}$，則設(shè)丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由點(diǎn)A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{丨AE丨}{丨AB丨}$=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°
∴直線AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$．
則直線l的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：3x²-10x+3=0，
則x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1，
則y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁-1）+$\sqrt{3}$（x₂-1）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AB中點(diǎn)E（$\frac{5}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
則EG的方程的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則EG的方程：y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{5}{3}$），
當(dāng)x=0時(shí)，則y=$\frac{11}{3}$，則G（$\frac{11}{3}$，0），
則G到直線l的距離d=$\frac{丨\frac{11}{3}×\sqrt{3}-0-\sqrt{3}丨}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{16}{3}$，
則S_△ABG=$\frac{1}{2}$×丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，焦點(diǎn)弦公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．