Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，…（1分）
當單調遞減，
當單調遞增，…（3分）
①，沒有最小值； …（4分）
②，即時，；…（5分）
③，即時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt…（6分）
所以…（7分）
（2）2xlnx≥-x²+ax-3，則，…（9分）
設，
則，…（10分）
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∵g（x）=-x²+ax-3．所以a≤h（x）_min=4；…（13分）
分析：（1）f'（x）=lnx+1，當單調遞減，當單調遞增，由此進行分類討論，能求出函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．
（2）由2xlnx≥-x²+ax-3，知，設，則，由此入手能夠求出實數a的取值范圍．
點評：本題考查求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．