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7.函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若對(duì)任意x1,x2∈[a,b],有fx1+x2212[fx1+fx2],則稱f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P,現(xiàn)給出如下命題:
①若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
②對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f(x1+x2+x3+x44)≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].
③f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
④f(x2)在[13]上具有性質(zhì)P;
其中真命題的序號(hào)是(  )
A.①②B.①③C.②④D.③④

分析 根據(jù)題設(shè)條件,分別舉出反例,說明①和②都是錯(cuò)誤的;同時(shí)證明③和④是正確的.

解答 解:在①中:在[1,3]上,f(2)=f( x+4x2)≤12[f(x)+f(4-x)],
{fx+f4x2fxfxmax=f2=1f4xfxmax=f2=1
故f(x)=1,
∴對(duì)任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,
故①成立;
在②中,對(duì)任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],
有f(x1+x2+x3+x44)=f( 12x1+x2+12x3+x42
12[f( x1+x22)+f( x3+x42 )]
12[12(f(x1 )+f(x2))+12(f(x3)+f(x4))]
=14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

∴f(x1+x2+x3+x44)≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].
故②成立.
在③中,反例:f(x)={13x1x32x=3在[1,3]上滿足性質(zhì)P,
但f(x)在[1,3]上不是連續(xù)函數(shù),故③不成立;
在④中,反例:f(x)=-x在[1,3]上滿足性質(zhì)P,但f(x2)=-x2在[1,3]上不滿足性質(zhì)P,
故④不成立;
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)定義的理解,說明一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤時(shí),只需舉出反例即可.說明一個(gè)結(jié)論正確時(shí),要證明對(duì)所有的情況都成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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