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2.已知函數(shù)f(x)={xx0x2+2xx0,若方程f2(x)+bf(x)+14=0有六個(gè)相異實(shí)根,則實(shí)數(shù)b的取值范圍(  )
A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(-54,0)D.(-54,-1)

分析 先將函數(shù)進(jìn)行換元,轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)問題.同時(shí)在結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象,確定b的取值范圍.

解答 解:令t=f(x),則原函數(shù)方程等價(jià)為t2+bt+14=0.
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖1:
圖象可知當(dāng)由0<t<1時(shí),函數(shù)t=f(x)有3個(gè)交點(diǎn).
所以要使f2(x)+bf(x)+14=0有六個(gè)相異實(shí)根,
則等價(jià)為有兩個(gè)根t1,t2,
且0<t1<1,0<t2<1.
令g(t)=t2+bt+14
則由根的分布(如圖2)可得{0f0=140f1=1+b+140021,即{210b542b0,即{b1b1b542b0
解得-54<b<-1,
則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(-54,-1).

故選:D.

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,以及二次函數(shù)根的分布,解決本題的關(guān)鍵是利用換元,將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù),換元是解決這類問題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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①若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
②對任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f(x1+x2+x3+x44)≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].
③f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
④f(x2)在[13]上具有性質(zhì)P;
其中真命題的序號是( �。�
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