Question

1．甲、乙、丙三人參加一個擲硬幣的游戲，每一局三人各擲硬幣一次；當有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；否則就進入下一局，并且按相同的規(guī)則繼續(xù)進行游戲；規(guī)定進行第十局時，無論結(jié)果如何都終止游戲．已知每次擲硬幣中正面向上與反面向上的概率都是$\frac{1}{2}$，則下列結(jié)論中
①第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{3}$；②第一局有人出局的概率是$\frac{1}{2}$；
③第三局才有人出局的概率是$\frac{3}{64}$；④若直到第九局才有人出局，則甲出局的概率是$\frac{1}{3}$；
⑤該游戲在終止前，至少玩了六局的概率大于$\frac{1}{1000}$．
正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②④⑤
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 三人各擲硬幣一次，所有的結(jié)果共8種．由于當有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；①當有甲擲得的結(jié)果與其他二人不同時，共有2種結(jié)果；②第一局有人出局時，有6種結(jié)果；③由于第三局才有人出局，則前兩局無人出局；④由于直到第九局才有人出局，則前8局無人出局，則直到第九局才有人出局；⑤若該游戲在終止前，至少玩了六局，則前5局無人退出，即可求出相應的概率．

解答 解：三人各擲硬幣一次，每一次扔硬幣都有2種結(jié)果，所有的結(jié)果共有2³=8種．
由于當有一人擲得的結(jié)果與其他二人不同時，此人就出局且游戲終止；
①當有甲擲得的結(jié)果與其他二人不同時，有正反反，反正正，共有2種結(jié)果，
故第一局甲就出局的概率是$\frac{1}{4}$，故①錯誤；
②第一局有人出局時，有正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，共有6種結(jié)果，
故第一局有人出局的概率是$\frac{3}{4}$，故②錯誤；
③由于第三局才有人出局，則前兩局無人出局，
故第三局才有人出局的概率是$\frac{2}{8}×\frac{2}{8}×\frac{6}{8}$=$\frac{3}{64}$，故③正確；
④由于直到第九局才有人出局，則前8局無人出局，則直到第九局才有人出局，
則甲出局的概率是（$\frac{2}{8}$）⁸×$\frac{6}{8}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{{4}^{9}}$，故④錯誤；
⑤若該游戲在終止前，至少玩了六局，則前5局無人退出，
故該游戲在終止前，至少玩了六局的概率為：
1-$\frac{6}{8}-\frac{2}{8}×\frac{6}{8}-（\frac{2}{8}）^{2}×\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{3}×\frac{6}{8}$-$（\frac{2}{8}）^{4}×\frac{6}{8}$=$\frac{1}{{4}^{5}}$，故⑤錯誤．
故答案為：③．

點評 本題考查古典概型及其概率計算公式的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．