Question

11．設函數(shù)f（x）=ax³+bx+c（a＞0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y-1=0垂直，導函數(shù)f′（x）的最小值為-6，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 運用奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x），可得c=0，求出導數(shù)，由二次函數(shù)的最值，可得b=-6，再由導數(shù)的幾何意義和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a=1．

解答 解：由f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，可得c=0，
由f′（x）=3ax²+b（a＞0）的最小值為-6，即有b=-6．
又直線x-3y-3=0的斜率為$\frac{1}{3}$，
切線與已知直線垂直，所以切線斜率為-3．
因此，f′（1）=3a+b=-3，
解得a=1，b=-6，c=0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查奇函數(shù)的定義和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．