Question

3．已知a＞0，且a≠1，命題p：函數(shù)y=log_a（x+1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．若“p∨q”為假，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （1，$\frac{5}{2}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]∪（1，$\frac{5}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）
• D． [$\frac{1}{2}$，1）∪[$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 當(dāng)p為真命題時(shí)，根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律得到0＜a＜1；根據(jù)一元二次方程根的判別式，得到當(dāng)q為真命題時(shí)，0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，因?yàn)椤癙∨Q”為假，說(shuō)明命題p、q都為假，可得a的取值范圍．

解答 解：先看命題p：
∵函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，a＞0，a≠1，
∴命題P為真時(shí)?0＜a＜1，
再看命題q：
當(dāng)命題q為真時(shí)，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的判別式滿足：
△=（2a-3）²-4＞0⇒0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞$\frac{5}{2}$，
由“p∨q”為假，知p、q都為假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤$\frac{5}{2}$
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題為載體，考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．