Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且平面PAC⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：平面PBC⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，交AC于點O，連接OE，證明OE∥PB，即可證明PB∥平面ACE；
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAC，即可證明：平面PBC⊥平面PAC．

解答 證明：（Ⅰ）連接BD，交AC于點O，連接OE，
∵底面ABCD是平行四邊形，∴O為BD中點，
又E為PD中點，∴OE∥PB，
又OE?平面ACE，PB?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（Ⅱ）∵PA=PC，O為AC中點，∴PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABCD，
平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD，
又BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC．
在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}-2AB•BC•cos∠ABC}$=$\sqrt{{2^2}+{1^2}-2×2×1×\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²+BC²，∴BC⊥AC．
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．

點評 本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定，熟練掌握線線、線面、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．