Question

13．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點，M為底面△OBF的重心．
（1）求證：平面ADF⊥平面CBF；
（2）求證：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （1）通過證明CB⊥AB，推出CB⊥平面ABEF，得到CB⊥AF，利用余弦定理推出BF⊥AF，然后證明AF⊥平面CBF，得到平面ADF⊥平面CBF．
（2）取BF的中點Q，連接PO，PQ，OQ，說明PO∥AC，證明PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，推出平面POQ∥平面AFC，即可證明PM∥平面AFC．

解答 證明：（1）因為平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，且CB⊥AB
所以CB⊥平面ABEF…．（1分）
又AF?平面ABEF，所以CB⊥AF…．（2分）
因為AB=2AF，∠BAF=60°，設AF=a，
由余弦定理得$BF=\sqrt{{a^2}+4{a^2}-2a×2acos{{60}^0}}=\sqrt{3}a$
所以AB²=AF²+BF²，即BF⊥AF…（4分）
又CB∩BF=B，所以AF⊥平面CBF…．（5分）
又AF?平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF…（6分）
（2）取BF的中點Q，連接PO，PQ，OQ…（7分）
因為P，O，Q分別是CB，AB，BF的中點，
所以PO∥AC，PO?平面AFC…（8分）
從而PO∥平面AFC，
同理PQ∥平面AFC…（9分）
又PO∩PQ=P，所以平面POQ∥平面AFC…（10分）
因為M為底面△OBF的重心，
所以M∈OQ，從而PM?平面POQ…（11分）
所以PM∥平面AFC．…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．