10.已知($\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$)n的展開式中,第三項(xiàng)的系數(shù)為144.
(Ⅰ)求該展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和;
(Ⅱ)求該展開式的所有有理項(xiàng).

分析 (Ⅰ)依題意,利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式可求得n的值;
(Ⅱ)只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z,r=0,3,6,9,從而可求得展開式中的有理項(xiàng).

解答 解:(Ⅰ)($\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$)n的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Cnr(-2)r${x}^{\frac{n-4r}{3}}$,(0≤r≤n,且r∈N).
由題意可知:第三項(xiàng)的系數(shù)為Cn2(-2)2=144,
即n(n-1)=72,解得n=9.
∴該展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為28=256.
(Ⅱ)∵($\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$)9的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C9r(-2)r${x}^{\frac{9-4r}{3}}$,(0≤r≤9,且r∈N).
要求該展開式中的有理項(xiàng),只需令$\frac{9-4r}{3}$∈Z,
∴r=0,3,6,9,
∴展開式中的有理項(xiàng)為:T1=C90(-2)0x3=x3;T4=C93(-2)3x-1=-672x-1;
T7=C96(-2)6x-5=-5376x-5;T10=C99(-2)9x-9=-512x-9

點(diǎn)評 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),著重考查二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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