Question

17．已知函數(shù)f（x）=|ax-2|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）+f（-x）＜$\frac{1}{m}$有實(shí)數(shù)解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=2代入不等式化簡后，對x分類討論，分別去掉絕對值求出每個(gè)不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；
（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求出f（x）+f（-x）的最小值，結(jié)合題意列出不等式，求出實(shí)數(shù)m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，不等式為：|2x-2|＞x+1，
當(dāng)x≥1時(shí)，不等式化為：2x-2＞x+1，解得x＞3…（2分）
當(dāng)x＜1時(shí)，不等式化為：2-2x＞x+1，解得$x＜\frac{1}{3}$…（3分）
綜上所述，解集為$（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（3，+∞）$；…（5分）
（II）因?yàn)閒（x）+f（-x）=|ax-2|+|-ax-2|≥|ax-2-ax-2|=4…（7分），
所以f（x）+f（-x）的最小值為4，…（8分），
因?yàn)閒（x）+f（-x）＜$\frac{1}{m}$有實(shí)數(shù)解，
所以$4＜\frac{1}{m}，即m∈（0，\frac{1}{4}）$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．