Question

13．求以雙曲線y²-3x²=12的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將所給雙曲線的方程變形可得$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，從中分析可得其焦點、頂點的坐標，進而由橢圓的幾何性質(zhì)，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：y²-3x²=12，變形可得$\frac{{y}^{2}}{12}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，
分析可得其焦點在y軸上，且a²=12，b²=4，
則有c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=4，
即該雙曲線的焦點坐標為（0，±4），頂點坐標為（0，±2$\sqrt{3}$），
又由題意，要求的橢圓以（0，±4）為頂點，（0，±2$\sqrt{3}$）為焦點，
則其a′²=16，c′2=（2$\sqrt{3}$）²=12，
故b′²=16-12=4，
則要求橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1；
故求以雙曲線y²-3x²=12的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用雙曲線的方程求出焦點的坐標．