分析 (Ⅰ)由ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,把互化公式代入即可得出直角坐標方程.
(Ⅱ)曲線C1是過定點(1,1)的一條直線,由于(1-2)2+(1-1)2<5,可得點(1,1)在曲線C2的內部,因此直線C1與曲線C2一定相交.把直線參數方程代入圓的方程可得:t2-t-4=0,利用根與系數的關系、弦長關系即可得出.
解答 解:(Ⅰ)由ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,
∴曲線C2的直角坐標方程為x2+y2=2y+4x,即(x-2)2+(y-1)2=5.
(Ⅱ)曲線C1是過定點(1,1)的一條直線,
∵(1-2)2+(1-1)2<5,∴點(1,1)在曲線C2內部,
∴直線C1與曲線C2一定相交.
將$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$(t是參數)代入(x-2)2+(y-1)2=5,得t2-t-4=0.
∴t1+t2=1,t1t2=-4,
∴$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{({t_1}+{t_2})}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{1^2}+16}=\sqrt{17}$.
點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數方程及其應用、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式、直線與圓的位置關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | $2\sqrt{5}$ | B. | $4\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{29}$ | D. | $\sqrt{13}$ |
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