Question

已知：橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦點(diǎn)為M，N；直線PQ經(jīng)過(guò)N交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：△MPQ的周長(zhǎng)為定值．
（2）求△MPQ的面積的最大值？

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦點(diǎn)為M，N，直線PQ經(jīng)過(guò)N交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，知△MPQ的周長(zhǎng)l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a，由此能夠證明△MPQ的周長(zhǎng)為定值．
（2）由橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦點(diǎn)為M，N，知N（2，0），設(shè)PQ為x=ny+2，代入橢圓，得（n²+2）y²+4ny-4=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

y1+y2=- 4n n2+2 y1•y2=- 4 n2+2

，故|y1-y2|  =

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 2 • n2+1

n2+2

，由此能求出△MPQ的面積的最大值．

解答：（1）證明：∵橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦點(diǎn)為M，N，直線PQ經(jīng)過(guò)N交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，
∴△MPQ的周長(zhǎng)l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a=8

2

，
故△MPQ的周長(zhǎng)為定值8

2

．
（2）解：∵橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦點(diǎn)為M，N，
∴N（2，0）
設(shè)PQ為x=ny+2代入橢圓，得（ny+2）²+2y²=8，
整理，得（n²+2）y²+4ny-4=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

y1+y2=- 4n n2+2 y1•y2=- 4 n2+2

，
∴|y1-y2|  =

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 2 • n2+1

n2+2

，
∴△MPQ的面積S=

1

2

•2c•|y1-y2|
=

8 2 •  n2+1

n2+2

，
令t=

n2+1

≥1，
則S=

8 2

t+ 1 t

≤

8 2

2 t• 1 t

=4

2

，
∴當(dāng)t=1，即n=0時(shí)，△MPQ的面積的最大值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．