Question

9．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且$2sinAsinC（\frac{1}{tanAtanC}-1）=-1$．
（Ⅰ）求B的大��；
（Ⅱ）若$a+c=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，b=\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式括號中利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系切化弦，去括號后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，再由誘導公式變形求出cosB的值，即可確定出B的大��；
（Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答 解：（Ⅰ）∵$2sinAsinC（\frac{1}{tanAtanC}-1）=-1$．
∴2cosAcosC（tanAtanC-1）=1
∴2cosAcosC（$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$-1）=1，
∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，
即cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{（a+c）^{2}-2ac-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{27}{4}$-2ac-3=ac，即ac=$\frac{5}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．