Question

已知A，B，C三點(diǎn)不共線，空間內(nèi)任一點(diǎn)O滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），則“x+y+z=1”是“點(diǎn)P在由A，B，C所確定的平面內(nèi)”的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：平面向量及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：利用所學(xué)共面向量基本定理可知A，B，C三點(diǎn)不共線，空間內(nèi)任一點(diǎn)O滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），則“x+y+z=1”是“點(diǎn)P在由A，B，C所確定的平面內(nèi)”的充要條件．必要性由四點(diǎn)共面入手，利用平面向量的加減運(yùn)算變形證明，充分性直接把x+y+z=1化為x=1-y-z，代入給出的向量表達(dá)式加以證明．

解答： 解：已知空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），
則”x+y+z=1”是“點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)”的充要條件．
證明如下：
（必要性）由共面向量定理的推論知：四點(diǎn)A、B、C、D共面
?對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x1

BC

+y1

BD

=

OB

+x1(

OC

-

OB

)+y1(

OD

-

OB

)
=（1-x₁-y₁）

OB

+x1

OC

+y1

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）對(duì)于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，
由x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，
即：

BA

=y

BC

+z

BD

．
∴四點(diǎn)A、B、C、D共面．
∴空間任意無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對(duì)于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
∴A，B，C三點(diǎn)不共線，空間內(nèi)任一點(diǎn)O滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

（x，y，z∈R），則“x+y+z=1”是“點(diǎn)P在由A，B，C所確定的平面內(nèi)”的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了充要條件問題，考查了共面向量基本定理的推廣應(yīng)用，是中檔題．