Question

8．如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱A₁B₁的中點，則直線AE與直線B₁C所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），E（2，1，2），B₁（2，2，2）．
$\overrightarrow{AE}$=（0，1，2），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（2，0，2）．
∴cos$＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{C{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{C{B}_{1}}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線AE與直線B₁C所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了通過求向量的夾角公式求異面直線的夾角、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．