Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-1|+|x+1|-m}$的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍m；
（2）若m的最大值為n，當(dāng)正數(shù)a，b滿足$\frac{2}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$=n時(shí)，求7a+4b的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)定義域?yàn)镽，設(shè)函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|，則m不大于函數(shù)g（x）的最小值即求解．
（2）根據(jù)（I）可得n，利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，即可求解7a+4b的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽，
所以|x+1|+|x-1|-m≥0恒成立．
設(shè)函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|，則m不大于函數(shù)g（x）的最小值．
又|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
即g（x）的最小值為2，所以m≤2．
故m的取值范圍為（-∞，2]；
（2）由（1）知n=2，正數(shù)a，b滿足$\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}=2$．
所以7a+4b=$\frac{1}{2}$（7a+4b）（$\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}$）
=$\frac{1}{2}$[2（3a+b）+（a+2b）]（$\frac{2}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}$）
=$\frac{1}{2}$[5+$\frac{2（3a+b）}{a+2b}+\frac{2（a+2b）}{3a+b}$]≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{4}$）=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=3a+b，即b=2a=$\frac{3}{5}$時(shí)，等號(hào)成立．
所以7a+4b的最小值為$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，絕對(duì)值的不等式計(jì)算，屬于中檔題．