Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{1}{a}$（α＞0）；
（1）如果函數(shù)F（x）=f（x）-ax+$\frac{1-α}{x}$在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若不等式af（x）≥x在區(qū)間[1，10]恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：原不等式轉(zhuǎn)化成F′（x）≥0在（1，2）上恒成立，方法一：構(gòu)造輔助函數(shù)求導，則g（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，則-$\frac{a-1}{a}$≥2，即可求得a的取值范圍；
方法二：根據(jù)二次函數(shù)的根的分布問題，等價于$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1-a+1≤0}\\{4a-2-a+1≤0}\end{array}\right.$，即可求得a的取值范圍；
（2）方法一：原不等式等價于1+alnx≥x在x∈[1，10]時恒成立，分離參數(shù)a≥$\frac{x-1}{lnx}$，在x∈[1，10]時恒成立，求導，利用導數(shù)求得h（x）的最大值，即可求得a的最小值；
方法二：即alnx-x+1＜0在x∈[1，10]無解，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，分類討論，即可求得實數(shù)a的最小值．

解答 解：（1）F（x）=lnx+$\frac{1}{a}$-ax+$\frac{1-α}{x}$，x∈（1，2），（α＞0）；
求導F′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=-$\frac{a{x}^{2}-x+1-a}{{x}^{2}}$，
由題意可知：F′（x）≥0在（1，2）上恒成立，
即-ax²+x-1+a≥0在（1，2）恒成立，
方法一：設g（x）=-ax²+x-1+a，x∈（1，2），則g（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，
由a＞0，g（x）=a（x-1）（x+$\frac{a-1}{a}$），
又g（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，
則-$\frac{a-1}{a}$≥2，解得：a≤$\frac{1}{3}$，
由α＞0，則0＜a≤$\frac{1}{3}$，
綜上可知：a的取值范圍（0，$\frac{1}{3}$]；
方法二：根據(jù)二次函數(shù)根的分別，
則-ax²+x-1+a=0，一個根小于等于1，一個根大于等于2，
則-ax²+x-1+a≤0，等價于$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-1-a+1≤0}\\{4a-2-a+1≤0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤$\frac{1}{3}$，
綜上可知：a的取值范圍（0，$\frac{1}{3}$]；
（2）根據(jù)條件可知：af（x）≥x在區(qū)間[1，10]恒成立，x=1顯然成立，
則等價于1+alnx≥x在x∈[1，10]時恒成立，
即a≥$\frac{x-1}{lnx}$，在x∈[1，10]時恒成立，設h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，則a≥h（x）_max，
求導，h（x）=$\frac{lnx-（x-1）•\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$=$\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{l{n}^{2}x}$，
設u（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，求導u′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
則u（x）在[1，10]單調(diào)遞增，則u（x）＞h（1）=0，
則h′（x）＞0，
∴h（x）在[1，10]單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=h（10）=$\frac{9}{ln10}$，
∴a≥$\frac{9}{ln10}$，
實數(shù)a的最小值$\frac{9}{ln10}$．
方法二：由等式af（x）≥x在區(qū)間[1，10]恒成立，則af（x）＜x在x∈[1，10]無解，
即alnx-x+1＜0在x∈[1，10]無解，
令g（x）=alnx-x+1則g（x）≥0在[1，10]恒成立，
求導g′（x）=$\frac{a-x}{x}$，
當0＜x＜a時，g′（x）＞0；當x＞a時，g′（x）＜0，
則函數(shù)g（x）在[0，a]上單調(diào)遞增，在[a，+∞）單調(diào)遞減，
則g（1）=0，
∴a＞1，
當1＜a＜10時，函數(shù)g（x）在[1，a]上單調(diào)遞增，在[a，10]單調(diào)遞減，
則g（10）≥0，即aln10-9≥0，解得：a≥$\frac{9}{ln10}$，
∴$\frac{9}{ln10}$≤a＜10，
當a≥10，函數(shù)在[1，10]單調(diào)遞增，則g（x）≥g（1）=0，滿足條件，
綜上可知：a≥$\frac{9}{ln10}$，
∴實數(shù)a的最小值$\frac{9}{ln10}$．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查分離參數(shù)法，求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想的應，屬于難題．