分析 (1)把直線x=-$\frac{1}{2}$向右平移$\frac{1}{2}$個單位變?yōu)閤=-1,此時點P到直線x=-1的距離等于它到點(1,0)的距離,即可得到點P的軌跡方程.
(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用韋達定理求解x1x2+y1y2=0,然后推出結(jié)論.
解答 解:(1)因為動點P到點(1,0)的距離比到直線$x=-\frac{1}{2}$的距離長$\frac{1}{2}$,
所以點P到直線x=-1的距離等于它到點(1,0)的距離,
因此點P的軌跡為拋物線,方程為y2=4x.
(2)證明:設(shè)過點A的直線l的斜率為:k,
直線PQ的方程為:y=k(x-4),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-4)}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,消去y可得k2x2-8k2x-4x+16k2=0…①,
則x1x2=16,消去x可得:y2-$\frac{4}{k}$y-16=0,
y1y2=-16,
可得x1x2+y1y2=0,
即OM⊥ON,
所以,以PQ為直徑的圓過原點.
點評 本題考查點P的軌跡方程,考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,正確運用拋物線的定義是關(guān)鍵.
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