Question

19．設兩個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，若向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 設出向量夾角為θ，結合向量夾角是鈍角，得cosθ＜0，且cosθ≠-1，即2t²+15t+7＜0，且$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$，由此求得實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：由題意可得 $\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=2×1×cos60°=1，
設向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$的夾角為θ，
則θ∈（90°，180°），則有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1．
即2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$的不能反向共線，且向量數(shù)量積（2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）＜0，
設$2t\overrightarrow{{e}_{1}}+7\overrightarrow{{e}_{2}}$≠-k•（$\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$），（k＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$．得t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
由（2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）＜0，得2t$\overrightarrow{a}$²+7t$\overrightarrow$²+•（2t²+7）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜0，
∴2t²+15t+7＜0，
解得 $-7＜t＜-\frac{1}{2}$ 且t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故實數(shù)t的取值范圍為{t|$-7＜t＜-\frac{1}{2}$，且$t≠-\frac{\sqrt{14}}{2}$}．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用，根據(jù)向量夾角和向量數(shù)量積的關系是解決本題的關鍵．注意要去掉向量反向共線的情況．