Question

7．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)sinx≤cosx時(shí)，f（x）=cosx，當(dāng)sinx＞cosx時(shí)，f（x）=sinx，給出以下結(jié)論：
①f（x）的最小值為-1；
②f（x）是周期函數(shù)；
③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取最小值；
④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π（k∈Z）時(shí)，f（x）＞0；
⑤f（x）的圖象上相鄰最低點(diǎn)的距離是2π．
其中正確的結(jié)論序號(hào)是②④⑤．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，做出函數(shù)在一個(gè)周期上的圖象，觀察函數(shù)的圖象，分別求解函數(shù)的周期，最值及取得最值的條件分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答 解：做出正弦函數(shù)y=sinx與y=cosx在一個(gè)周期上的圖象如下圖，取函數(shù)的最大值
觀察函數(shù)的圖象可得函數(shù)的最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①錯(cuò)誤
觀察圖象可知函數(shù)以2π為周期的周期函數(shù)，故②正確；
當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ（k∈Z）時(shí)，f（x）取最大值；所以③錯(cuò)誤；
當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$＜x＜（2k+1）π（k∈Z）時(shí)，f（x）＞0，故④正確；
由圖象可知相鄰的最低點(diǎn)的距離為一個(gè)周期即2π，故⑤正確
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了識(shí)別圖象的能力及由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是要由題中的定義找出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖象，結(jié)合圖象求解函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．