Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓上一動點的直線，過F2與x軸垂直的直線記為，右準線記為；

①設直線與直線相交于點M，直線與直線相交于點N，證明恒為定值，并求此定值。

②若連接并延長與直線相交于點Q，橢圓的右頂點A，設直線PA的斜率為，直線QA的斜率為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）① ②

【解析】

（1）利用橢圓的定義可知，再根據離心率求，即可寫出橢圓方程（2）①求出M,N的坐標，利用兩點間距離公式，化簡即可求出為定值②設點（），點Q，表示出 ，再利用點P在橢圓上，化為關于的函數，即可求出范圍.

（1）由題意知 ，則 ,又 可得 ,

所以橢圓C的標準方程為.

（2）①M N

②點（），點Q，

∵，，

∴==．

∵點P在橢圓C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范圍是．