Question

6．已知數(shù)列{a_n}前n項和${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）討論當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時，a₁=S₁，即可得到所求通項公式；
（2）當(dāng)n≥2時，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，求得當(dāng)n=1時，b₁的值，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}前n項和為${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4-[{\frac{1}{2}{{（{n-1}）}^2}-\frac{3}{2}（{n-1}）-4}]$=n+1，
當(dāng)n=1時，${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-4=-2$，不滿足a_n=n+1，
∴{a_n}的通項公式為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-2，\;\;\;\;\;\;n=1}\\{n+1，\;\;\;\;n≥2}\end{array}}\right.$；
（2）當(dāng)n≥2時，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
當(dāng)n=1時，${b_1}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{1}{-2×3}=-\frac{1}{6}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=$-\frac{1}{6}+[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{6}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{n+2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．