Question

4．已知雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則l的條數(shù)共有（　　）

• A． 4條
• B． 3條
• C． 2條
• D． 1條

Answer 1

分析 求出雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程y=±2x，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)討論，直線l與雙曲線相切，有兩條，一條為斜率不存在的和另一條斜率存在，由判別式為0，解得斜率；直線l與漸近線平行的有兩條，共有4條．

解答 解：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±2x，
①直線l：x=1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②過(guò)點(diǎn)P （1，1）平行于漸近線y=±2x時(shí)，直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
③設(shè)過(guò)P的切線方程為y-1=k（x-1）與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立，
可得（4-k²）x²-2k（1-k）x-（1-k）²-4=0，
由△=0，即4k²（1-k）²+4（4-k²）[（1-k）²-4]=0，解得k=$\frac{5}{2}$，直線l的條數(shù)為1．
綜上可得，直線l的條數(shù)為4．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題以雙曲線為載體，主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，突出考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于中檔題和易錯(cuò)題．