Question

16．已知函數(shù)f（x）=-$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}+4}$（x＞0），在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n），n∈N^*，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，則T₂₀=2．

Answer 1

分析 由題意可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n）=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+4}$，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，利用等差數(shù)列的通項公式可得：$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4n-3，a_n＞0，可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\sqrt{4n-3}$．于是b_n=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$=$\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{4}$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：由題意可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=-f（a_n）=$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+4}$，化為$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為4．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3，
a_n＞0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\sqrt{4n-3}$．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}$=$\frac{\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}}{4}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{4}[（\sqrt{5}-1）+（\sqrt{9}-\sqrt{5}）$+…+$（\sqrt{4n+1}-\sqrt{4n-3}）]$=$\frac{1}{4}（\sqrt{4n+1}-1）$．
則T₂₀=$\frac{1}{4}（\sqrt{81}-1）$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．