Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{41}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=t，|AB|=5x，結(jié)合|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，得到△ABF₂為直角三角形，結(jié)合勾股定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)|AF₁|=t，|AB|=5x，則|BF₂|=12x，|AF₂|=13x，
根據(jù)雙曲線的定義，得|AF₂|-|AF₁|=|BF₁|-|BF₂|=2a，
即13x-t=（5x+t）-12x=2a，解得t=10x，x=$\frac{2}{3}$a，
即|AF₁|=$\frac{20}{3}$a，|AF₂|=$\frac{26}{3}$a，
∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=5：12：13，∴得△ABF₂是以B為直角的Rt△，
則|BF₁|=t+5x=10x+5x=15x=15×$\frac{2}{3}$a=10a，
|BF₂|=12x=12×$\frac{2}{3}$a=8a，
則|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²，
即100a²+64a²=4c²，
即164a²=4c²，
則41a²=c²，
即c=$\sqrt{41}$a，
因此，該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{41}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．