Question

6．已知定義在R上函數(shù)f（x）滿足f（2）=1，且f（x）的導函數(shù)f′（x）＜-2，則不等式f（lnx）＞5-2lnx的解集為（0，e²）．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=f（x）+2x-5，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性 即可得到結論．

解答 解：設t=lnx，
則不等式f（lnx）＞5-2lnx等價為f（t）＞5-2t，
設g（x）=f（x）+2x-5，
則g′（x）=f′（x）+2，
∵f（x）的導函數(shù)f′（x）＜-2，
∴g′（x）=f′（x）+2＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∵f（2）=1，
∴g（2）=f（2）+4-5=5-5=0，
則當0＜x＜2時，g（x）＞g（2）=0，
即g（x）＞0，則此時g（x）=f（x）+2x-5＞0，
即不等式f（x）＞-2x+5的解為x＜2，
即f（t）＞5-2t的解為t＜2，
由lnx＜2，解得0＜x＜e²，
即不等式f（lnx）＞5-2lnx的解集為（0，e²），
故答案為：（0，e²）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．