Question

12．已知函數(shù)y=f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）且當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-2f（x）＜0，則一定成立的是（　　）

• A． 16f（-3）＞9f（4）
• B． 16f（3）＜9f（-4）
• C． 9f（3）＞16f（4）
• D． 9f（-3）＜16f（-4）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，進(jìn)一步利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，令a=g（3）=$\frac{f（3）}{9}$，b=g（4）=$\frac{f（4）}{16}$，c=g（-3）=$\frac{f（-3）}{9}$，d=g（-4）=$\frac{f（-4）}{16}$，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析可得g（3）=g（-3）＞g（4）=g（-4），由次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
其導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-（{x}^{2}）′•f（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{x•f′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）-2f（x）＜0，
則有當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{x•f′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＜0，
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
令a=g（3）=$\frac{f（3）}{9}$，b=g（4）=$\frac{f（4）}{16}$，c=g（-3）=$\frac{f（-3）}{9}$，d=g（-4）=$\frac{f（-4）}{16}$，
則有g(shù)（3）=g（-3）＞g（4）=g（-4），
分析選項(xiàng)可得：
若g（-3）＞g（4），即$\frac{f（-3）}{9}$＞$\frac{f（4）}{16}$，分析可得16f（-3）＞9f（4），故A正確；
若g（3）＞g（-4），即$\frac{f（3）}{9}$＞$\frac{f（-4）}{16}$，分析可得16f（3）＞9f（-4），故B錯(cuò)誤；
若g（3）＞g（4），即$\frac{f（3）}{9}$＞$\frac{f（4）}{16}$，分析可得16f（3）＞9f（-4），而9f（3）＞16f（4）不一定成立，故C錯(cuò)誤；
若g（-3）＞g（-4），即$\frac{f（-3）}{9}$＞$\frac{f（-4）}{16}$，分析可得16f（-3）＞9f（-4），而9f（-3）＜16f（-4）不一定成立，故D錯(cuò)誤；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．