Question

17．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，且0＜α＜π，
（1）求sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，兩邊平方可得1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，可得2sinαcosα=sin2α=$\frac{24}{25}$＞0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{1}{5}}\\{sinαcosα=\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，解得sinα，cosα．可得cos2α=2cos²α-1．展開sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）代入即可得出．
（2）由（1）可得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．代入$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$，即可得出．

解答 解：（1）∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，
∴1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴2sinαcosα=sin2α=$\frac{24}{25}$＞0，
又0＜α＜π，
∴$0＜α＜\frac{π}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{1}{5}}\\{sinαcosα=\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，
解得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$．
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2α-cos2α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$（\frac{24}{25}+\frac{7}{25}）$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．
（2）由（1）可得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$．
$\frac{sin2α+2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinα（cosα+sinα）}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$=$\frac{2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×（\frac{4}{5}+\frac{3}{5}）}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}}$=-$\frac{168}{25}$．

點評 本題考查了倍角公式、三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．