Question

7．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，在將兩組工人的日平均生產件數分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率．
（2）規(guī)定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”，請你根據已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？

P（X2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （1）根據分層抽樣，求得樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40人，由頻率分布直方圖日平均生產件數不足60件的工人中25周歲以上組有3人，25周歲以下組有2人，隨機抽取2人，求得所有可能的結果，根據古典概型公式求得至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；
（2）據2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K²≈1.786＜2.706，沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”．

解答 解：（1）由已知得：樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40人，
所以樣本中日平均生產件數不足60件的工人中25周歲以上組有60×0.05=3人，分別記為：A₁，A₂，A₃，
25周歲以下組有工人40×0.05=2人，分別記為B₁，B₂，
從中隨機抽取2人，所有可能的結果共10種，他們分別是（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₂），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
其中“至少有1名”，25周歲以下組的結果有7種，
故所求概率為P=$\frac{7}{10}$；
（2）由頻率分別直方圖可知：在抽取的100名工人中，
“25周歲以上組”中的生產能手60×0.25=15人，
“25周歲以下組”中的生產能手40×0.375=15人，
據此可得2×2列聯(lián)表：

	生產能手	非生產能手	合計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計	30	70	100

所以K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100×（15×25-45×15）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.786＜2.706．
所以沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”．

點評 本題考查根據頻率分布直方圖的應用，考查獨立性檢驗的概率情況，以及隨機分布的概率的計算，考查運算能力，屬于中檔題．